Деревья игры Поиск выигрышной стратегии

Деревья игры. Поиск выигрышной стратегии

Будем рассматривать класс игр двух лиц с полной информацией. В таких играх участвуют два игрока, которые поочередно делают свои ходы. В любой момент игры каждому игроку известно все, что произошло в игре к этому моменту и что может быть сделано в настоящий момент. Игра заканчивается либо выигрышем одного игрока (и проигрышем другого), либо ничьей.

Таким образом, в рассматриваемый класс не попадают игры, исход которых зависит хотя бы частично от случая – большинство карточных игр, игральные кости, «морской бой» и проч. Тем не менее класс достаточно широк: в него входят такие игры, как шахматы, шашки, реверси, калах, крестики-нолики и другие игры.Для формализации и изучения игровых стратегий в классе игр с полной информацией может быть использован подход, основанный на редукции задач. Напомним, что при этом должны быть определены следующие составляющие: форма описания задач и подзадач; операторы, сводящие задачи к подзадачам; элементарные задачи; а также задано описание исходной задачи.

Наиболее интересной представляется задача поиска выигрышной стратегии для одного из игроков, отправляясь от некоторой конкретной конфигурации (позиции) игры (не обязательно начальной). При использовании подхода, основанного на редукции задач, выигрышная стратегия ищется  в процессе доказательства того, что игра может быть выиграна. Аналогично, поиск ничейной стратегии, исходя из некоторой конкретной позиции, ведется в процессе доказательства  того, что игра может быть сведена к ничьей.

Ясно, что описание решаемой задачи должно содержать описание конфигурации игры, для которой ищется нужная стратегия. Например, в шашках игровая позиция включает задание  положений на доске всех шашек, в том числе дамок. Обычно описание конфигурации содержит также указание, кому принадлежит следующий ход.

В большинстве игр, представляющих интерес, таких как шашки и шахматы, построить полные решающие деревья и найти полные игровые стратегии не представляется возможным. Например, для шашек число вершин в полном игровом дереве оценивается величиной порядка 10⁴⁰, и просмотреть такое дерево практически нереально. Алгоритмы же упорядоченного перебора с применением эвристик не настолько уменьшают просматриваемую часть дерева игры, чтобы дать существенное, на несколько порядков, сокращение времени поиска.

Тем не менее для неполных игр в шашки и шахматы (например, для эндшпилей), так же как и для всех несложных игр, таких как  «крестики-нолики» на фиксированном квадрате небольшого размера, можно успешно применять алгоритмы поиска на И/ИЛИ-графах, позволяющие обнаруживать выигрышные и ничейные игровые стратегии.

Рассмотрим, к примеру, игру «крестики-нолики» на квадрате 3´3. Игрок ПЛЮС ходит первым и ставит крестики, а МИНУС – нолики. Игра заканчивается, когда составлена либо строка, либо столбец, либо диагональ из крестиков (в этом случае выигрывает ПЛЮС) или ноликов (выигрывает МИНУС). Оценим размер полного дерева игры: начальная вершина имеет 9 дочерних вершин, каждая из которых в свою очередь – 8 дочерних; каждая вершина глубины 2 имеет 7 дочерних и т.д. Таким образом, число концевых вершин в дереве игры равно 9!=362880, но многие пути в этом дереве обрываются раньше на заключительных вершинах. Значит, в этой игре возможен полный просмотр дерева и нахождение выигрышной стратегии. Однако ситуация изменится при существенном увеличении размеров квадрата или же в случае неограниченного поля игры.

В таких случаях, как и во всех сложных играх вместо нереальной задачи поиска полной игровой стратегии решается, как правило, более простая задача – поиск для заданной позиции игры достаточно хорошего первого хода.